- 以国名为姓起源：杜姓出自祁姓，是帝尧裔孙刘累的后代。西周初年，唐国被灭，周成王封自己的弟弟叔虞在唐，刘累的后代被封在杜，建立杜国（陕西西安东南），历代国君均称杜伯。周宜王时，杜伯被周宣王所冤杀，杜国的子民有些就用国名作为自己的姓氏，从此姓杜。

- 以先祖名为姓起源：春秋时期，楚国有君主名叫熊艰，号称杜敖。其后人以“杜”为姓。

- 以官职为姓起源：杜蒯是春秋时期晋、秦、卫诸国掌管膳食和祭祀牺牲的官吏，在杜蒯的后裔子孙中，有以先祖官职称谓为姓氏者，称“杜”氏。

- 出自杜康：相传杜康是上古黄帝时期的人，善于造酒，也有说法认为他是夏朝第六代国王少康。杜康的故乡在今河南省汝阳县杜康村，河南被视为杜姓的发祥地之一。

- 自外姓和外族的改姓：秦汉之际板循蛮首领杜濩，杜姓是巴族人中的大姓；南北朝北魏鲜卑族独孤浑氏族改为杜姓；北宋金国女真族徒单氏族改为杜姓；清朝满洲八旗都善氏、图克坦氏等氏族均集体改为杜姓，其后族人多数同化为东北杜姓汉族。

- 变迁：

- 先秦时期：杜姓主要活动于陕西地区，是当地的一个重要姓氏。

- 秦汉时期：杜姓已经散播到河南、山西、湖北、四川、山东等地，并且在这些地区逐渐发展壮大。

- 魏晋南北朝时期：中原战乱频繁，杜姓为躲避战乱大举南迁，在湖北、四川、浙江等地形成了较大的家族群体。同时，在北方的一些地区，如陕西、山西等地，杜姓仍然保持着一定的影响力。

- 隋唐时期：国都长安附近的杜姓宗族达到鼎盛阶段，出现了许多杜姓的显贵家族，如唐代宰相杜如晦、杜淹、杜黄裳、杜佑等家族。这一时期，杜姓在长江南北都有分布，一些杜姓人还前往边疆地区为官，促进了杜姓在这些地区的发展。

- 宋元明清时期：杜姓的分布总格局变化不大，但人口的流动主要由北向东南移动。在这一时期，杜姓人在商业、文化、教育等领域都有较为出色的表现，为杜姓的发展做出了贡献。

- 在北京的分布：北京作为政治、文化中心，吸引了众多杜姓人前来。在历史上，一些杜姓的官员、文人、学者等可能因为在朝廷任职、参加科举考试或从事文化活动等原因来到北京，并在此定居。例如，明清时期的一些杜姓文人可能在京城的书院、学府等地讲学、着书立说。在现代，随着北京的经济发展和城市化进程的加快，更多的杜姓人因工作、学习、生活等原因来到北京。杜姓在北京的分布较为广泛，在各个城区都有一定数量的杜姓居民。一些历史文化遗迹、名人故居等地方可能与杜姓有着一定的联系，这些地方也反映了杜姓在北京的历史文化底蕴。